En la popular serie de televisión Futurama aparace en el capítulo “El prisionero de Benda” (“The prisoner of Benda”), de la Temporada 6, un teorema matemático conocido como el Teorema de Futurama.

El Teorema de Futurama fue creado por el escritor de Ken Keeler específicamente para utilizarse en el citado capítulo, con lo que se convierte en el primer teorema real creado para el entretenimiento televisivo.

El Teorema de Futurama es utilizado para resolver un problema que surge en el episodio cuando se dan cuenta de que una máquina que intercambia las mentes entre dos personas no sirve para revertir el proceso, es decir, no puede cambiar las mentes entre dos personas que ya cambiaron las mentes previamente.

El Teorema de Futurama propone que sin importar el número de “interruptores mentales” que hayan tenido dos cuerpos, pueden ser restauradas las mentes a sus cuerpos originales con el apoyo únicamente de dos personas adicionales, siempre que estas no hayan cambiado previamente su mente.

Hay que señalar que Keeler tiene postdoctorado en matemáticas aplicadas y que el teorema que creó en realidad sirve, incluso para recobrar la posición original en un mayor número de cuerpos con “mentes cambiadas”.

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Proponemos la siguiente explicación del problema y su respectiva solución:

  1. A cambió su mente con B; la mente de A se encuentra en el cuerpo de B y la mente de B se encuentra en el cuerpo de A.
  2. Para regresar a sus respectivos cuerpos, B y A no pueden cambiar entre sí sus mentes, sino que deben de provenir de un tercer cuerpo (uno para A y otro para B).
  3. Estos dos cuerpo serán C y D.
  4. El cuerpo de A (que contiene la mente de B) intercambia la mentes con el cuerpo de C. Ahora la mente de A está en el cuerpo de B; la mente de B está en el cuerpo de C; la mente de C está en el cuerpo de A; y la mente de D sigue en D.
  5. El cuerpo de D intercambia mentes con el cuerpo de B (que contiene la mente de A).  Ahora la mente de A está en el cuerpo de D; la mente de B está en el cuerpo de C; la mente de C está en el cuerpo de A; y la mente de D está en el cuerpo de B.
  6. En este paso A y B vuelven a tener sus mentes originales: el cuerpo de A (que contiene la mente de C) intercambia mentes con el cuerpo de D (que contiene la mente de A); y el cuerpo de B (que contiene la mente de D) intercambia mentes con el cuerpo de C (que contiene la mente de B).
  7. A y B ya se encuentran en sus respectivas mentes, por lo que sólo hace falta un paso: el intercambio de las mentes entre los cuerpos D (que contiene la mente de C) y C (que contienen la mente de D). Al realizarse el intercambio todo vuelve a la normalidad.
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Comprobación del Teorema de Futurama

La comprobación de el Teorema de Futurame es escrita en un pizarrón durante el episodio, la cual es la siguiente:

Primero dejemos que π sea un cierto ciclo de k en [n] = {1 … n} WLOG escribe:

Π = 1 2 … k k + 1 … n

2 3 … 1 k + 1 … n

Sea <a, b> la transposición que cambia el contenido de ayb. Por hipótesis π se genera mediante los interruptores DISTINCT en [n]. Introducir dos “nuevos cuerpos” {x, y} y escribir

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Π * = 1 2 … k k + 1 … nxy

2 3 … 1 k + 1 … nxy

Para cualquier i = 1 … k sea σ la serie (l-a-r) de conmutadores

(<X, 1> <x, 2> … <x, i>) (<y, i + 1> <y, i + 2> I + 1>) (<y, 1>)

Obsérvese que cada conmutador intercambia un elemento de [n] con uno de los {x, y}, de modo que son todos distintos de los conmutadores dentro de [n] que generan π y también de <x, y>. Por verificación de rutina

Π * σ = 1 2 … nxy

1 2 … nyx

Es decir σ vuelve al ciclo k y deja x ey conmutados (sin realizar <x, y>).

AHORA sea π una permutación ARBITRARIA en [n]. Consiste en ciclos disjuntos (no triviales) y cada uno puede invertirse como anteriormente en secuencia después de lo cual x e y pueden ser conmutados si es necesario mediante <x, y>, como se deseaba.

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